1. Le cheval et la péniche
Au XIXe siècle, sur les canaux de France.
Avant les moteurs, les péniches avancent sur les canaux tirées par des chevaux. Le cheval marche sur le chemin de halage, le long de la berge, et tire le bateau par une longue corde. La corde n'est donc pas parallèle au canal : elle fait un angle avec lui.
Toute la force du cheval sert-elle à faire avancer la péniche ? Une part tire le bateau vers la berge, ce qui ne le fait pas avancer. C'est la question à laquelle répond, en 1829, l'ingénieur et mathématicien Gaspard-Gustave Coriolis dans son livre Du calcul de l'effet des machines : il y donne au mot travail le sens qu'il a toujours en physique, pour mesurer l'effet utile d'une force.
2. Le travail d'une force
Une force, un déplacement, un angle : un produit scalaire.
La péniche se déplace de \(A\) à \(B\) le long du canal ; le cheval exerce une force \(\vec{F}\), dirigée selon la corde, qui fait un angle \(\theta\) avec le déplacement. Faites varier l'angle : seule la projection de la force sur le canal, en pointillé, fait avancer le bateau.
Part utile de la force : \(F\times\cos\theta\) = de la force
Le travail selon Coriolis
Le travail de la force \(\vec{F}\) au cours du déplacement \(\overrightarrow{AB}\) est le produit de la longueur du déplacement par la part utile de la force : c'est le produit scalaire \[W = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F\times AB\times\cos\theta.\] La force s'exprime en newtons (N), le déplacement en mètres (m), le travail en joules (J).
Dans l'exemple ci-dessous, le cheval tire avec une force de newtons.
3. Moteur, résistant ou nul
Le signe du produit scalaire a un sens physique.
D'après le théorème 1, le signe du travail est celui de \(\cos\theta\) :
Trois cas
\(\theta\) aigu : \(\cos\theta > 0\), le travail est moteur : la force aide le mouvement.
\(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) : \(\cos\theta = 0\), le travail est nul : la force est orthogonale au déplacement.
\(\theta\) obtus : \(\cos\theta < 0\), le travail est résistant : la force freine le mouvement.
4. Le travail par projection
La définition 1 du produit scalaire, vue par un ingénieur.
On représente la force par un vecteur \(\overrightarrow{AF}\) d'origine \(A\), dont la longueur \(AF\) est la valeur de la force. Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(F\) sur le canal, la part utile de la force est \(AH\), et le travail vaut \(AB\times AH\) : c'est exactement la définition 1 du produit scalaire.
5. Un canal qui tourne
Un tronçon après l'autre, on ajoute les travaux.
Un canal n'est pas une ligne droite : il est fait de tronçons rectilignes, et sur chacun la corde fait un angle différent avec le canal. Le travail total est la somme des travaux sur chaque tronçon.
Un exemple calculé à la main
Le cheval tire avec une force de \(400\) N. Sur un premier tronçon de \(100\) m, la corde fait un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\) ; sur un second de \(200\) m, elle est parallèle au canal (angle \(0\), \(\cos 0 = 1\)) : \[W = 400\times 100\times\dfrac{1}{2} + 400\times 200\times 1 = 20\,000 + 80\,000 = 100\,000 \text{ J}.\]
6. Tout le canal : la console Python
Ce qui serait long à la main, la machine le fait en un instant.
Avec beaucoup de tronçons et des cosinus comme \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), le calcul à la main
devient long. Le programme ci-dessous range les tronçons dans une liste : chaque
tronçon est un couple (longueur, angle). La fonction travail parcourt
la liste et ajoute les travaux un à un.
Exécutez d'abord le programme : la première ligne affichée doit redonner les \(100\,000\) J calculés à la main à l'écran 5 — c'est la preuve que le programme calcule juste. La seconde ligne donne le travail sur tout le canal, hors de portée d'un calcul mental.
Si la console ne se charge pas — réseau du lycée, tablette capricieuse —, le même programme s'exécute sur https://sciency.co/console.
Comment modifier la liste ?
Dans la ligne canal = [...], ajoutez une virgule après la dernière parenthèse,
puis le nouveau couple, avant le crochet fermant : (200, pi/4), (50, pi/3)].
Puis cliquez de nouveau sur « Exécuter ».
7. Ce qu'il faut retenir
Le fil, d'un bout à l'autre.
Le travail, un produit scalaire
Le travail d'une force constante \(\vec{F}\) au cours d'un déplacement rectiligne \(\overrightarrow{AB}\) est le produit scalaire \(W = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB}\). On le calcule avec l'angle (théorème 1), \(W = F\times AB\times\cos\theta\), ou par projection (définition 1), \(W = AB\times AH\).
Son signe dit si la force aide le mouvement (moteur), le freine (résistant) ou ne compte pas (nul, force orthogonale au déplacement). Sur un trajet fait de plusieurs tronçons, on ajoute les travaux : c'est ce que fait la boucle du programme Python.
Vous retrouverez le travail d'une force en physique-chimie, avec la même formule.
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